geodesia y cartografía

Sunday, February 26, 2017

Geodesia


Problemas básicos y complementarios de la
geodesia

(Resumen de fórmulas y ejemplos numéricos)



Rubén C. Rodríguez

rubenro@fibertel.com.ar
 

 
 
 
 
Los problemas básicos de la geodesia son dos:

- directo, dadas las coordenadas de un punto y el acimut y la distancias

desde el mismo a un segundo punto determinar las coordenadas de

este, e

- inverso (o inversión geodésica), conocidas las coordenadas de dos

puntos determinar el acimut y la distancia de la línea geodésica que los

vincula.

Para resolver ambos problemas es necesario, previamente, conocer la

geometría del elipsoide que se expresa a través de sus parámetros (semieje

mayor y aplanamiento) y el cálculo de los radios de curvatura principales y los

arcos de meridiano y paralelo.

 
Radios de curvatura
N (normal) = a/(1 - e2 sen2 φ)0.5
M (meridiano) = a (1- e2 )/(1 - e2 sen2 φ)1.5

R (medio) = (N2 * M2)0.5

RA (para un acimut determinado) = M N / (N cos2 A + M sen2 A)

siendo

a, semieje mayor del elipsoide y b, semieje menor

f, aplanamiento = (a-b)/a y también

e2, excentricidad al cuadrado = 2f - f2


A, acimut

 
Parámetros de dos elipsoides de uso frecuente
Internacional de 1924, a = 6378388 metros f = 1/297
WGS 84, a = 6378137 metros f = 1/298.257223563

 
Arcos de meridiano (AM) y de paralelo (AP)
AM (desde el Ecuador) = a(A0 φ - A2 sen 2 φ + A4 sen 4 φ – A6 sen 6φ... )
A0 = 1 – e2 / 4 - 3 e4 / 64 - 5 e6 / 256

A2 = 3 ( e2 + e4 / 4 + 15 e6 / 128) / 8

A4 = 15 ( e4 + 3 e6 / 4) / 256

A6 = 35 e6 / 3072

AMφ = Mφ ∗ Δφ (rad) arco de meridiano entre dos latitudes

APφ = Nφ cos φ ∗Δλ (rad) arco de paralelo, a la latitud φ entre dos meridianos



Problema directo: emplearemos las fórmulas de Puissant

φ2 = L B cos A – L2 C sen 2 A – (L B cos A) L2 E sen2 A – (Δφ)2 D + φ1

siendo Δφ la suma de los tres primeros términos y


A, acimut

L, distancia (geodésica)

B = 1/M1

C = tg φ1 / 2 M1 N1

D = 3 e2 sen φ1 cos φ1 / 2 (1 - e2 sen2 φ1)

E = (1 + 3 tg2 φ1)/ 6 N1


sen (λ2 − λ1) = sen (L/N2) sen A sec φ2
A21 = A12 + π + (λ2 − λ1) sen(φ1 + φ2)/2 sec(φ2 - φ1)/2 + (λ2 − λ1)3 F

siendo

F = [ sen(φ1 + φ2)/2 cos2 (φ1 + φ2)/2 ]/12


La precisión de las fórmulas de Puissant con los términos incluidos está
limitada en su uso a lados de hasta unos 30 km. Para mayores distancias son
recomendadas las de Clarke (best formulae).




Problema inverso: según las formulas de Robbins
tg ψ2 = (1 – e2) tg φ2 + e2 N1 sen φ1/ N2 cos φ2 (1)
ctg A12 = (cos φ1 tg ψ2 – sen φ1 cos Δλ) cosec Δλ (2)

sen σ = sen Δλ cos ψ2 cosec A12

L = N1 σ {1 − σ2 h2 (1 - h2)/6 + σ3 gh (1 – 2 h2)/8 + σ4 [h2 (4 – 7 h2) – 3 g2 (1 – 7

h2)] /120 - σ5 gh / 48}


siendo

g2 = e´2 sen2 φ1

h2 = e´2 cos2 φ1 cos2 A12

2 = e2 / (1 - e2)

Para el cálculo del acimut A21 se intercambian los subíndices en las fórmulas


(1) y (2)

Estas expresiones tienen una precisión de 0.01 ppm a 1600 km.

 
Conversión de coordenadas geodésicas a geocéntricas
X = (N + h) cos φ cos λ
Y = (N + h) cos φ sen λ

Z = [N(1- e2) + h] sen φ



h, altura elipsóidica

 
Conversión de coordenadas geocéntricas a geodésicas
tg φ = Z / (X2 + Y2)0.5 + N e2 sen φ / (X2 + Y2)0.5

a través de un proceso iterativo comenzando con

tg φ = Z / (X2 + Y2)0.5


siendo constantes en las siguientes iteraciones

Z / (X2 + Y2)0.5 y e2 / (X2 + Y2)0.5

tg λ = Y/X

h = (X2 + Y2)0.5 / cos φ −N


Ejemplos numéricos usando el elipsoide WGS 84
Latitud = -34º


N 6384823.210 m

M 6355384.571



R 6370086.884


RA (para A = 45º) 6370069.878

Arco de meridiano, φ = -34º


- desde el Ecuador 3763661.442 m

- para 1´ 1848.706



- para 1” 30.812


Arco de paralelo, φ = -34º


- para 1´ 1539.746

- para 1” 25.662

Puissant/Robbins

P1 -34º/-60º Az12 45º L 10000 m

P2 -33 56 10.4208 -59 55 24.6641 Az21 224 57 26.16

Geodésicas a geocéntricas


-34º/-60º/100 m

X + 2646670.619 m



Y - 4584167.984


Z - 3546502.483


Bibliografía
Ashkenazi, V. Sumaria Introducción a la Geodesia Geométrica Clásica.



Nottingham, 1977.

Bomford, G. Geodesy, Third Edition. Oxford, 1971.


Bomford, G. Geodesy. Fourth Edition. Oxford, 1980.


Iliffe, J./Lott, R. Datums and Map Projections, 2nd Edition, CRC Press. 2008


Leick, A. GPS Satellite Survey. John Willey & Sons, 1990