geodesia y cartografía

Thursday, April 06, 2017

Tobler - Mercator

A New Companion for Mercator
 
Waldo Tobler
Professor emeritus
Geography Department
University of California
Santa Barbara, CA 93106-4060
http://www.geog.ucsb.edu/~tobler
           
 
ABSRACT: The inappropriate use of the Mercator projection has declined but still occasionally
occurs. One method of contrasting the Mercator projection is to present an alternative in the form of
an equal area projection. The map projection derived here is thus not simply a pretty Christmas tree ornament, it is instead a compliment to Mercator’s conformal navigation anamorphose and can be displayed as an alternative. The equations for the new map projection preserve the latitudinal stretching of the Mercator while adjusting the longitudinal spacing. This allows placement of the new map adjacent to that of Mercator. The surface area, while drastically warped, maintains the correct magnitude.
 
 
Keywords: Map Projection, Equal Area, Mercator
 
In 1569, nearly 450 years ago, Mercator introduced his famous map projection “Ad Usam Navigatorum”. It still is in use for that purpose today. In the equatorial case the rendering of rhumb lines was, and is, especially useful for ocean navigation. And, as a conformal projection, the preservation of local directional gradients makes a Mercator map useful in several contexts. In particular, Halley’s use of this projection in 1701 to represent magnetic deviations by isogons (Monmonier, Figure 1.6, page 10) is thus justified. Weather maps showing wind directions also take advantage of this property.
 
 The normal Mercator map with the horizontal equator at the center, with latitudes stretched towards the poles, was also frequently used in the past for purposes other than navigation – in classrooms to teach world geography, for example - and this use has been criticized as being inappropriate and misleading. The equal area map proposed here might be set next to the conformal version in order to contrast or complement the normal Mercator. This is because the latitudinal spacing is the same for both maps. The Lambert cylindrical equal area projection (Lambert 1772), for which the longitudinal spacing is the same as the Mercator projection, might also be set next to (south of) either of these maps for a similar purpose1.
The equations for Mercator’s projection were developed by mathematicians somewhat after its introduction (Monmonier, page 61 et sec.) and are now known, in the case of a map for the surface of a unit sphere, centered on the equator, as
                        X = l
                        Y = Ln tan (p/4 + f/2)
where gitude, the latitude. In order to obtain an equal area projection, while retaining the same latitudinal spacing, it is necessary to change the equation for the spacing of the longitudes in the first equation. The general equation2 for an equal area projection of a spherical surface of radius 1, is  dx/dl * dy/df - dx/df * dy/dl = cos2f . Requiring that the latitude spacing be the same as that for Mercator’s map fixes  dy/df  We are left with dx/dl * dy/df, and dy/df  for Mercator’s projection is sec  Thus dx/dl = cos2f . The final equations for an equal area projection with latitudinal spacing as on the Mercator projection are therefore:
 

   X =  l cos2f

                  

    Y = Ln tan (p/4 + f/2)
 
A version of the new projection, centered on the Greenwich meridian, appears in Figure 1. The poles, as on the Mercator map of the world, are displaced to infinity, and thus cannot be shown. By convention, the projection is truncated at about 80 degrees north and south. By taking the vertical meridian of the map at 180 degrees west longitude, and extending the map to 180 degrees east longitude, the map can be positioned adjacent to Mercator’s world map centered on Greenwich.  
The original Mercator map is conformal, meaning that local angles are represented faithfully, while geographic areas are not correctly depicted. The new version, Figure 1, reverses this, and the maximum angular modification is now extreme. The map is not a bonnie representation of the equal area map projection class, but reinforces the notion that Mercator’s map, stretching towards the poles, distorts areas. As such the map provides an equal area companion to Mercator’s conformal projection.
Citations:
1Suggested by a reviewer.
2 (McBryde & Thomas, Equation 1, page 12).
Lambert, J.H., (1772), Notes and Comments on the Composition of Terrestrial and Celestial Maps, W. R. Tobler, Trans., 2nd ed., 2011, Redlands, CA: ESRI Press.
        McBryde, F. W., Thomas, P. D.,1949, Equal-Area Projections for World Statistical Maps, Coast and Geodetic Survey Special Publication No. 245, Washington, Government Printing Office.
 
Monmonier, M., 2004, Rhumb Lines and Map Wars, Chicago, University Press.
 
Figure 1:  The Tobler-Mercator equal area map projection with Mercator spacing of the latitude lines
Figura 2: Tobler-Mercator and Mercator

© Waldo Tobler 2016
 

 
 

 

Cartografía Matemática

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compendio de fórmulas sobre proyecciones cartográficas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rubén C. Rodríguez rubenro@fibertel.com.ar
 


 
Introducción
 
El fascículo incluye las características y las fórmulas de cálculo sobre las proyecciones cartogficas más usuales en la Argentina: Gauss-Krüger para las cartas topogficas con sus variantes UTM y Capital Federal, Mercator para la cartografía utica y Cónica Conforme de Lambert para la cartografía aeronáutica.
 
Las fórmulas se complementan con ejemplos numéricos para la conversión de coordenadas curvilíneas a planas agregando, como referencia, algunos valores intermedios tanto para solución directa como para la inversa.
 
Como elipsoides de referencia se emplearon el Internacional de 1924 y el WGS 84.
 
Las coordenadas planas X e Y están dirigidas hacia el Norte y el Este respectivamente en el caso de Gauss-Krüger sin embargo en otros casos se sigue la tendencia - como ocurre en la literatura de la materia y en los softwares de procesamiento - de X hacia el Este e Y hacia el Norte. A fin de evitar confusiones se agrega a continuación de la abscisa y de la ordenada hacia donde se dirige.
 
Adicionalmente aparecen tres apéndices:
 
-     el primero destinado a mencionar la evolución de la elección de las proyecciones destinadas a los planisferios,
 
-     el segundo con una aplicación práctica de la elipse indicatríz de Tissot para evaluar una proyección y los resultados de un procedimiento de calificación de proyecciones, y
 
-     el tercero destinado a informar acerca de las proyecciones cartogficas y los marcos de referencia usados en los pses limítrofes de la Argentina.
 
Finalmente agregamos la principal bibliografía consultada con indicación de la que se encuentra disponible en Internet.
 
Nota 1
Para la proyección Mercator se presentan dos soluciones, una esférica y otra elipsóidica. ¿Cuál es el límite entre usar una u otra? Lo define la escala: las cartas con escalas superiores a 1:1000000 requieren considerar el empleo del elipsoide. El concepto es válido para cualquier proyección.
 
Nota 2
Si bien no está en la bibliograa es interesante considerar, desde un punto de vista docente, la presentación                de                 Moha                Elayachi                titulada                 ANew DidacticalMechanismtoUnderstandMapProjectionsdurante la sesión TS08F de la reunión de la FIG 2011 realizada en Marruecos y que se encuentra en http://www.fig.net/fig2011
 
Gauss Krüger
 
Es la proyección cartográfica imaginada por Lambert (1772) a la que Gauss (1822) le dio forma matemática y Krüger (1912) acosus deformaciones.
 
Es anatica pues el pasaje del elipsoide al plano se realiza a través de un proceso matemático y es conforme pues se conservan los ángulos (es decir las formas). En consecuencia las distancias lo
 
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mismo que las superficies sufren deformaciones que son controlables. Tanto la conservación de los ángulos como las deformaciones, lineales y superficiales, serán demostradas durante el desarrollo de esta sección.
 
Su aplicación en la Argentina data de 1925 cuando fue adoptada para la cartografía oficial. Para ello se estableció un sistema de fajas meridianas de (1; 2; etc) de ancho cada una en las que el meridiano central (l0) es uno cuya graduación es múltiplo de tres, de acuerdo al siguiente detalle:
 


 
 
1)      -72°  2)  -69°  3)  -66°  4)  -63°  5)  -60°  6)  -57°  7)  -54°
 
Para convertir las coordenadas geodésicas (latitud y longitud) en planas es necesario calcular en primer lugar el arco de meridiano elíptico desde el Ecuador hasta la latitud del punto según la siguiente expresión:
 
AM = a (A0 f - A2 sen 2 f + A4 sen 4 f - A6 sen 6 f + ... )
 
siendo
f, la latitud,
a, el semieje mayor del elipsoide elegido,
e2 el cuadrado de la excentricidad del mismo, e2 = (a2  b2)/a2 l, la longitud y
l = l l0
 
A0 = 1 - 1/4 e2 - 3/64 e4 - 5/256 e6- ... )
 
A2 = 3/8 (e2 + 1/4 e4 + 15/128 e6+ ... )
 
A4 = 15/256 (e4 + 3/4 e6+ ... )
 
A6= 35/3072 e6
 
También calculamos el arco de meridiano correspondiente al cuadrante terrestre
 
Q = a A0 π/2
 
(a Q se lo conoce también como falso Norte)
 
Las coordenadas planas se expresan en metros.
 
X, tienen como origen el polo sur, y es positiva hacia el Norte.
 
X = Q + AM + (l cos f)2 N t/2 + (l cos f)4 N t (5 - t2 + 9 η2 + 4 η4)/24 + (l cos f)6 N t (61 - 58 t2 + t4)/720
 
y = (l cos f) N + (l cos f)3 N (1- t2 + η2 )/6 + (l cos f)5 N (5 - 18 t2 + t4 )/120
 
donde t = tg f    η2 = e´2 cos2f e´2 = e2/(1-e2)    N = a/(1 - e2 sen2f)0.5 radio de curvatura normal
 
Y, tiene su origen en el meridiano central y se le añaden 500000 metros y el mero de la faja multiplicado por 1000000
 
Y = y + n * 1000000 + 500000
 
 
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n = (75 + l0)/3 mero de la faja.
 
(al término n * 1000000 + 500000 se lo suele llamar falso Este)
 
La deformación lineal, o razón de aumento, de una distancia es el cociente entre la misma calculada a partir de las coordenadas planas de los extremos y la obtenida a partir de las coordenadas geodésicas.
 
A fin de estimarla se puede usar la expresión
 
m = 1 + y2/2R2 + y4/24 R4
 
R = (NM)0.5 , radio de curvatura medio en el punto de interés
 
M = a (1 -e2)/(1 - e2 sen2f)1.5, radio de curvatura meridiano
 
m, es un atributo puntual de los extremos de la línea considerada cuyo promedio podemos calcular.
 
 
Una solución más cercana al verdadero valor, particularmente cuando las distancias son largas, es aplicar la expresión que aparece en [8] de la bibliografía
 
m = (mi + 4 mm + mf)/6
 
siendomi y mf los valores correspondiente a los extremos de la línea y mm el de su punto medio.
 
Cuando se requiere calcular una superficie sobre el elipsoide se recurre usualmente a una proyección equivalente sin embargo si se cuenta con las coordenadas planas Gauss-Krüger es posible resolver el problema con suficiente precisión dividiendo la superficie plana obtenida por el módulo m para el centro del área elevado al cuadrado.
 
El acimut plano de una línea se calcula como arctg = DY/DX sin embargo si es necesario obtener el acimut elipidico o geodésico debe conocerse la convergencia plana de meridianos (g) y la reducción de acimut (d) que se muestran en la figura siguiente:
 
 
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La convergencia de meridianos g es el ángulo que forma en la carta la paralela al meridiano central con el meridiano del lugar.
 
La reducción de acimut d, también identificada como arcocuerda (t-T), es el ángulo entre la recta que une los extremos de una línea en la carta con la curva que representa la geodésica en la misma carta.
 
Sus expresiones matemáticas son:
 
tg g = l cosf t + l3 cos3f t (1+ t2 + 3 h2 + 2 h4 )/3 + ...
 
d01 = ρ” (2y0 + y1) (X1X0)/6 R2
 
 d10 = ρ” (2y1 + y0) (X0X1)/6 R2
 
 r” = 206264.806 es el valor del radián en segundos
 
(obsérvese que ingresay en lugar de “Y)
 
Para calcular el acimut geodésico a partir del plano usamos
 
Azg01 = Azp01 + g0 + d01 respetando los signos de las expresiones anteriores.
 
En el caso de tener que obtener ángulos elipsóidicos a partir de los planos el cálculo se resuelve a partir de la siguiente figura:
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
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Mediante la expresión indicada a elip” es posible comprobar la conformidad de la proyección en consideración.
 
El caso inverso lo constituye el pasaje de coordenadas planas a geodésicas.
 
Teniendo presente que AM = a (A0 f - A2 sen 2 f + A4 sen 4 f-...)
 
f1 = AMA/a A0 + A2 sen 2 f/A0 - A4 sen 4 f/A0 siendo AMA = X – Q
 
hasta que la diferencia entre dos valores sucesivos no superen 0.00001” lo que ya se logra en seis iteraciones.
 
f1 es la latitud correspondiente al arco de meridiano entre el Ecuador y el pie de la proyección del punto P sobre el meridiano central y se calcula a través de un proceso iterativo.
 
 
 
f(LAT) = f1 - y2 t1/(2 N1 M1) + y4 t1 (5 + 3 t12 + η12 - 9 t12η12 ) / (24 N13 M1) - y6 t1 (61 + 90 t12 + 45
 
t14/ (720 N15 M1)
 
 
l = y/(N1 cos f1) - y3 (1 + 2 t12 + η12 ) / (6 N13 cos f1) + y5 (5 + 28 t12 + 24 t14) / (120 N15 cos f1)
 
l = l0 + l
 
Siendo y = Y – n*1000000 – 500000 y l0 = 3n - 75
 
Ejemplo numérico 1
 
Elipsoide WGS 84 a = 6378137
 
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f = 1/298.257223562 e2 = 2f f2
 
De geodésicas a planas Gauss Kger
 
f = - 34° l = - 59°
Faja 5 (l0= -60°) Q 10001965.73 m
AM = – 3763661.44 m
X = 6237853.43 m
Y = 5592386.56 m
g  = - 33´ 33.24” m = 1.000105
 
y en el cálculo inverso AMA = -3764112.30 m f1(rad) = -0.5934828876
 
Cálculo del acimut P0  P1 y del ángulo elipsóidico en P0 de P1 a P2 para lo cual incorporamos los puntos P1 y P2
 
P1
X = 6248357.37 Y = 5603097.31 P2
X = 6235104.26 Y = 5607134.35
 
y deducimos las reducciones de acimut  
d01= +2.56” d02= -0.68”
 
Entonces el acimut plano Az01es 45° 33´ 30.70” al que sumando la convergencia de meridianos y la reducción de acimut resulta el acimut geodésico igual a 45° 00´ 0.0.
 
El acimut plano Az02 es 100° 33´ 33.99” que al hacer la diferencia Az02- Az01encontramos que el ángulo plano igual a 55° 0 3.29”. Finalmente Az02 - Az01 + d02 - d01 resulta un ángulo elipidico de 55° 00´ 00.0”.
 
En ambos casos, las diferencias con los valores correctos, son inferiores a 0.1”.
 
Ejemplo numérico 2
 
Elipsoide Internacional 1924 a = 6378 388
f = 1/297 e2 = 2f f2
 
De geodésicas a planas Gauss Kger
 
f = - 34° l = - 59°
 
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Faja 5 (l0 = -60°) Q 10002288.299 m
AM = – 3763719.87 m
X = 6238117.55 m
Y = 5592390.60 m
g  = - 33´ 33.24” m = 1.000105
 
y en el cálculo inverso AMA = -3764170.75 m f1(rad) = -0.5934828888
 
Consideremos a continuación dos casos particulares de la proyección Gauss-Krüger: UTM y Capital Federal
 
UTM
 
UTM, que se la suele tratar como otra proyección sin embargo las diferencias están en
 
- que se trata de una solución secante, es decir que al módulo de deformación en el meridiano central se le asigna el valor 0.9996,
- a las fajas se las denomina zonas y tienen 6° de ancho,
- el valor de Q (falso Norte) es igual a cero para el hemisferio norte y 10000000 para el sur, - a la X se la designa N (Norting) y a la Y se la denomina E (Easting), y
- para expresar las coordenadas de un punto se dan tres valores: N, E, Z (Zone)
 
Las zonas se comienzan a contar en el meridiano 180 creciendo hacia el Este. Para la Argentina la situación es:
 
Zona 18)  l0  -75°  Z 19)  -69°  Z 20)  -63°  Z 21)  -57°
 
 
Las fórmulas directas puede expresarse, sintéticamente, del siguiente modo:
 
N = Q + k X
 
E = 500000 + k y (siendo 500000 el falso Este)
 
Z = (183 + l0)/6
 
m = k (1 + y2/2R2 + y4/24 R4)
 
X e y son las mismas que usamos para calcular las coordenadas Gauss-Krüger y k = 0.9996 mientras que las inversas son:
 
AMA = (N – Q)/k
 
y = (E – 500000)/k
 
Ejemplo numérico, de geodésicas a planas UTM:
 
 
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Elipsoide WGS 84 a = 6378137
f = 1/298.257223562 e2 = 2f f2
 
f = -34° l = -61°
 
AM = – 3763661.44 m
N = 6236040.86 m
E = 684709.83 m Zona 20 (l0= -63°) m = 1.000021
 
y en el cálculo inverso AMA = -3765465.33 m f1 (rad) = -0.5936957810
 
Capital Federal (CABA, 1992)
 
El otro caso particular es el de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires cuya superficie, lo mismo que conurbano bonaerense, se encuentra sobre las áreas correspondientes a dos fajas (la 5 y la 6) del esquema convencional donde la deformación es la máxima para su latitud. Es por ello que el origen de las coordenadas planas se eligió en la Basílica de Flores, cerca del centro geométrico de la ciudad:
 
-     X = Y = 100000 metros
-     coordenadas geodésicas Campo Inchauspe 1969
-      f0 = - 34° 37´ 46.9796”
-     l0 = -58° 27´ 45.7155” (meridiano central)
-     m = 0.999998 (módulo de deformación en el mismo)
 
Las coordenadas del centro geométrico de la ciudad de Buenos Aires (Avellaneda 1023) son:
 
Elipsoide Internacional de 1924 a = 6378388 m
f = 1/297  
f= -34 37 2.39 l = -58 26 40.89
X = 101373.91 m
Y = 101651.52 m
 
Dadas las características de la modalidad adoptada con origen en un punto muy cercano al centro de la ciudad, según se advierte, si en lugar de las coordenadas Campo Inchauspe 1969 se utilizaran las transformadas al marco POSGAR, por ejemplo 94, las coordenadas planas correspondientes solo difieren unos pocos centímetros que no tienen representación aun en escalas grandes.
 
Otra posibilidad del sistema es que resulta aplicable, con deformaciones mínimas, a todo el conurbano bonaerense.
 
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Cambios de fajas o zonas y de proyección
 
En algunas ocasiones es necesario trabajar en la zona cercana al límite entre dos fajas. En esos casos una solución es extender una de ellas para lo cual puede ser necesario convertir las coordenadas planas dadas en una faja en las correspondientes a la faja vecina.
 
Si bien existían algoritmos para el caso un mecanismo es convertir las coordenadas planas en geodésicas y a continuación calcular las planas en la otra faja.
 
Una situación que tiene la misma solución es cuando se requiere cambiar de proyección como pasar de Gauss Krüger a UTM o viceversa y también de Gauss Kger convencional al caso particular de la Capital Federal.
 
Mercator
 
Es cilíndrica, tangente al Ecuador, anatica y conforme siendo su principal característica la de representar mediante una recta la línea de acimut constante, identificada como loxodrómica, por lo que resulta de particular interés para la cartografía utica. Los meridianos y paralelos están representados, también, por líneas rectas.
 
Sus deformaciones - lineal y areal - son importantes por lo que en la cartografía náutica se recurre a un cilindro secante de modo que la deformación es nula en el paralelo medio de la hoja.
 
Las fórmulas matemáticas pueden presentarse para la solución esrica como para la elipsóidica.
 
Para la esfera:
X (E)= R (l l0)
Y (N) = R ln tg (p/4 + f/2)
siendo R el radio de la esfera elegida
 
El módulo de deformación m =1/cos f
 
Las expresiones inversas son: f= p/2 – 2 arctg e-Y/R
l= X/R + l0
Siendo e la base de los logaritmos naturales (ln)
 
Para el elipsoide:
 
X (E) = a (l- l0)
Y (N) = a ln[(tg (p/4 + f/2) (1 – e sen2 f/1 + e sen2 f)e/2]
 
El módulo de deformación es m = (1 – e2 sen2f)1/2/cosf
 
Las fórmulas inversas son:
 
f =p/2 – 2 arctg{t[1 – e sen f)/(1 + e sen f)]}e/2
siendo t = eY/a mediante un proceso iterativo rápidamente convergente comenzando con f= p/2 – 2 arctg t
 
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l= X/a + l0
 
Para reducir la deformación se utiliza un paralelo de referencia en lugar del Ecuador (cilindro secante) para lo cual las fórmulas anteriores para X e Y y también el módulo de deformación m”se multiplican por los siguientes factores:
 
F1 = cos f en el caso de la esfera, siendo f la latitud del paralelo elegido, o bien
 
F2 = cos f/(1 – e2 sen2 f)1/2 en el caso del elipsoide.
 
Para aplicar las expresiones inversas es necesario, previamente, dividir tanto a X como a Y por los factores de reducción señalados.
 
Ejemplos numéricos
 
Para el caso esférico R = 6370000 m
l0 = -66° f = - 41°
l= - 52° 17´
X (E) = 1524984.34 m Y (N) = - 5005947.10 m
m = 1.325013
 
Utilizando un cilindro secante para la latitud media de una fm = -41°
 
X´(N) = 1150920.29 m
(E) = - 3778036.23 m
m´ = 1
 
Para el caso elipsóidico elegimos un punto dentro de la hoja H-210 (De Faro Punta Mogotes a Faro Claromecó) escala 1:250000 publicada por el Servicio de Hidrografía Naval (Edición 2008).
 
Elipsoide WGS 84 a = 6378137
f = 1/298.257223562 e2 = 2f f2
 
l0 = - 60° 12.04´ f= - 38°
l = - 58°
 
X (E) = 244977.09 m Y (N) = -4553116.23 m
m = 1.267407
 
que para la latitud media de la hoja fm = - 38° 47´ 30”
 
cos f/(1 – e2 sen2 f)1/2 = 0.780455
 
 
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por lo que las coordenadas correspondientes a tal hoja son
 
X´(E) =     191193.62 m
(N) = - 3553502.70 m
m´ = 0.989154
 
En las cartas náuticas, como la mencionada, es posible comprobar las operaciones realizadas calculando las dimensiones de la hoja determinando las coordenadas de sus bordes para obtener la distancia entre los mismos en el sentido de las latitudes y de las longitudes. Estos valores, divididos por el denominador de la escala, deberían ser iguales a los correspondientes a la carta original que aparecen en el esquinero inferior derecho de la hoja en consideración.
 
 
Cónica conforme de Lambert
 
Es, como su nombre lo indica, conforme. Es continua en el sentido de las longitudes por lo que se utiliza en territorios extendidos en tal sentido, los paralelos son arcos de circunferencia concéntricos y los meridianos rectas concurrentes, en ambos casos en el polo correspondiente.
 
El caso más pico es el empleado en la cartografía aeronáutica con dos paralelos secantes. La elección de estos paralelos se determina considerando un sexto de la diferencia de latitud entre los bordes de la hoja y ubicados a esa distancia de los bordes superior e inferior, respectivamente.
 
Para calcular las coordenadas de los puntos la primera operación es la determinación de los parámetros de la hoja:
 
c = num/den (numerador/denominador)
 
num = ln (N1 cos f1) – ln (N2 cos f2)
den = ln {tgy1/2 [(1 + e cosy1)/(1 - cosy1)]e/2} - ln {tg y2/2 [(1 + e cos y2)/(1 - cos y2)]e/2}
 
N = a/(1 – e2 sen2 f)1/2
y es la colatitud y = 90° f
 
f0 = arcsen c
c1 = N1cos f1/sen f0{tg y1/2[(1 + e cos y1)/(1 - cos y1)]e/2}c R0 = c1{tg y0/2 [(1 + e cosy0)/(1 - cosy0)]e/2}c
 
Para calcular, finalmente, las coordenadas del punto genérico Pi
 
Ri = c1 {tg yi/2 [(1 + e cos yi)/(1 - e cos yi)]0.5e}c
 
Xi (E) = Ri sen cL
Yi (N) = R0  Ri cos cL
 
mi = c Ri/Ni cos Bi
 
Las fórmulas inversas son:
 
R = [X2 + (R0-Y)2]1/2
 
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l= arctg (X/R0 – Y)/c
y = 2 arctg{(R/c1)1/c/[(1 + e cos y)/(1 – e cos y)]e/2}
a través de un proceso iterativo rápidamente convergente comenzando con y = 2 arctg (R/c1)1/c
 
Finalmente f = 90° - y
 
Ejemplo numérico
 
Para el caso elegimos un punto ubicado dentro de la hoja CAA-5 escala 1:1000000 editada por la Fuerza Aérea Argentina (1982) que se extiende entre las latitudes -40° y -48° siendo, en consecuencia, los paralelos estándar -41° 20´ y -46° 40´.
 
Elipsoide Internacional de 1924 a = 6378388
f = 1/297 e2 = 2f f2
 
f0 = -69° f= -46° l= -74°
c = -0.69491300
f0 (rad) = -0.76829891
c1 = -11944027.85 m R0 = -6603940.26 m
R = -6384117.05 m
X (E) = -386912.21 m
Y (N) = -231558.49 m
m = 0.99952204
 
 
 
 
 
 
 


 
Bibliografía
 
[1] Capek, Richard
Which is the best projection for the world map?
 
 
[2] Horvat, Esteban
Problemas del cálculo geodésico Publicación Técnica 41, IGM, 1968
 
El volumen le dedica un catulo a los problemas directo e inverso de la proyección Gauss-Krüger, incluyendo la convergencia meridiana, la deformación lineal y la reducción de acimut.
 
[3] López Amador, Sagrario La proyección Mercator
 
[4] Meyer, Thomas
Introduction to Geometrical and Physical Geodesy ESRI press, 2010
 
La obra trata los temas incluidos en el título y dedica un capítulo, el octavo, a las proyecciones cartogficas.
 
 


 
 
[5] Millán Gamboa, José Manuel Fundamentos para Cartografía Náutica JM Ediciones, 2007
 
Dedica    un    capítulo    a    la    proyección   Mercator,    un    extracto    del    cual    es    en http://www.jmediciones.com/calculocoor.htm
 
[6] Snyder, John
Map Projections - A working manual
U. S. Geological Survey, Professional Paper 1395 394 páginas
 
Uno de los libros más completos acerca de las proyecciones cartográficas es el elaborado por John Snyder que incluye los conceptos sicos de cartografía matemática y una serie extensa de proyecciones de las que expone sus características, las fórmulas - tanto esféricas como elipsóidicas -para pasar de coordenadas curvilíneas a planas y también, lo que no es usual encontrar en la literatura afín, las fórmulas inversas.
 
En el apéndice se incorporan ejemplos numéricos, incluyendo valores intermedios, para las cuatro alternativas mencionadas.
 
 
[7] Snyder, John & Voxland, Philip An Album of Map Projections
U. S. Geological Survey, Professional Paper 1453
 
Contiene las imágenes del planisferio en unas 100 proyecciones cartogficas incluyendo algunas variantes de las mismas agregando las elipses indicatrices de Tissot para cada 30° (de latitud y de longitud) correspondientes a cada una de ellas a como, en el apéndice, las fórmulas de cálculo para el problema directo.
 
de modo interactivo para 10 proyecciones.
 
[8] The Irish Grid
Ordnance Survey of Northern Ireland, 2000 http://www.osni.gov.uk/2.1_the_irish_grid.pdf